Методическая разработка факультативного занятия по геометрии для 6 класса "Кратчайшие расстояния на кубе" (двухчасовое занятие)

Тема урока: Нахождение кратчайших расстояний на поверхности куба

Предмет: факультатив по геометрии

Класс: 6

Тип урока: комбинированный: обобщающий + применения знаний на практике.

Цели:

Обучающая:

• Применение знаний по теме «Куб», «Осевая симметрия»;

• Формирование умения решения задач на нахождение наибольших и наименьших расстояний на кубе;

• Применение информационных умений: процесс сбора, применения и преобразования информации при восприятии новой информации, соотнесение разных представлений информации (графическом и в виде модели).

Развивающая:

• Развитие интереса к окружающему миру и конкретно к данной теме посредством показа прикладных возможностей предмета математики на практике и в смежных областях;

• Развитие логических умений на упражнениях сравнения, сопоставления, обобщения;

• Развитие пространственного воображения;

• Развитие вариативности, гибкости, творческого мышления при решении задач с многовариантными решениями и решении задач с неполными данными.

Воспитывающая:

• Формирование и укрепление мотивации на получение знаний;

• Воспитание качеств регуляции и саморегуляции, оценки и самооценки при работе в сотрудничестве;

• Формирование представления об окружающем мире как целостной системы и себя как участника системы;

• Формирования осознания личностного роста при проведении рефлексии.

Оборудование к уроку:

• средства мультимедиа,

• модели кубиков (из детских наборов кубиков) по одному на парту,

• две большие демонстрационные модели куба (каркасная и «непустая») и ее изображение-аналог на экране,

• раздаточный материал, бумага.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Сообщение цели урока, мотивационный этап:

Пожалуй, трудно найти человека, которому бы не был знаком куб. Ведь кубики – любимая игра малышей. Кажется, что мы о кубе знаем всё. Но так ли это?

Сегодня мы попытаемся научиться находить расстояния на поверхности куба и даже внутри куба, не разрезая и не деформируя при этом саму модель (дети должны удивиться).

Может быть, вы узнаете и отметите для себя ещё что-то новое, интересное, или расскажете всем, что вам удалось дополнительно узнать о кубе во время ваших внешкольных занятий.

1. Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания: Вам было задано сделать ра звертки куба. Покажите ваши развертки. Я вижу, что ваши развертки отличаютсядруг от друга. А вы проверяли, действительно ли из вашей развертки можно сделать куб?Тогда попрошу вас на листочках выполните задание на развертку(карточка)

2 . Поставьте отметку (подчеркните слово) на тех рисунках, где, по вашему мнению нарисована развертка куба.

а )

б в г д

а) да, нет; б) да, нет; в) да, нет; г) да, нет д) да, нет

3 . Постройте точку, симметричную относительно оси l.

B l

l

A D

H C

1. Задача на изображение куба

Н а этот куб мы смотрим справа сверху, так правая и верхняя грани находятся в поле нашей видимости, как будто они освещены.

Н а рисунке проведите сплошные линии (видимые рёбра) так, чтобы куб был «виден»: а) слева снизу; б) справа сверху; в) справа снизу; г) слева сверху.

с лева снизу справа сверху справа снизу слева снизу

Ответы

справа снизу

слева снизу справа сверху слева сверху

1. Самопроверка.

После сдачи работ ответы высвечиваются на экран.

1. Дополнительная задача (текст и рисунок на экране)

Вам дома предлагалось подумать над следующей задачей: Задача о диагонали куба: Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба (наиболее удалённые друг от друга). Называется ДИАГОНАЛЬЮ куба. Сколько диагоналей имеет куб? Нарисуйте!

Практическое задание:Как измерить диагональ напустого куба, пользуясь только линейкой и карандашом, если есть:

а) ещё два таких же кубика; б) ещё один такой кубик; в) всего один кубик?

О твет:

а ) б) в)

1. Новая тема: Расстояния на поверхности куба. Мотивация:

Вступительное слово: В жизни человеку приходится измерять множество разных величин: время, массу, скорость, громкость звука, силу света и многое другое. Не так уж редки случаи, когда мы с помощью единицы одного вида измеряем не свойственную ей величину.

Например, говоря о расстоянии между двумя городами, мы указываем время, в течение которого можно доехать от одного города до другого. И это гораздо удобнее, чем указывать расстояние. При помощи песочных часов время измеряется в единицах объёма – объёма пересыпавшегося песка. Попытайтесь привести примеры такого рода.

Во многих случаях, чтобы измерить какую-то величину, приходится проявлять большую изобретательность. Ведь нельзя так просто взять и измерить радиус земного шара, площадь океана и многое другое. А это необходимо знать человеку.

Предлагаю вам такие задачи. Предложите способ, спомощью которого можно измерить: толщину бумажного листа; объём булыжника; вместимость чайной ложки. Придумайте свои задачи на измерение каких-то величин, требующие изобретательности.

Сегодня речь пойдёт об измерении расстояний на поверхности куба, причём не просто расстояний, а наибольших или кратчайших. Почему нас интересуют кратчайшие расстояния? Ученики приводят примеры: когда мы опаздываем, нам нужно двигаться по кратчайшему пути.

На экране: Дозаправка самолета в воздухе по кратчайшему расстоянию.

Учитель дополняет примерами экономического характера: чтобы нерасточительно тратить природные ресурсы, мы должны выбирать наиболее выгодные, кратчайшие пути. Например, ошибка в расчетах дорого обойдётся для государства при отправлении космических экспедиций. Можно задать вопрос: почему при запуске летательных аппаратов на соседние планеты (Марс, Венеру, Сатурн и т.д.) ученые тщательно выбирают день отправки? Они ждут благоприятного расположения планет, когда они выстраиваются таким образом, что расстояние между ними наименьшее. И это выгоднее, чем отправлять «в никуда», бездумно тратя ресурсы и финансы.

Ещё пример: Вы слышали, что ученые американской космической организация НАСА получают снимки с Марса или с других планет в определенный момент, когда наступает благоприятное расположение. Как вы думаете, что при этом учитывается? Наша земля и спутники летят по разным орбитам, которые скрещиваются.

Кратчайшее расстояние

А теперь я вам задам задачу.

1. Решение задач

В спомогательная задача: Г рибник выходит из леса в заданной точке. Ему необходимо дойти до шоссе, которое представляет собой прямую линию, где у него собранные грибы заберет сын, приехавший на машине; а далее зайти в лес в другой точке, в которой ожидает его жена. Как ему это сделать, пройдя по самому короткому пути?

?

Решение. Покажем на рисунке решение этой задачи:

Пусть грибник выходит из леса в точке А, а должен зайти в лес в точке В. Для решения задачи симметрично прямой — шоссе отобразим точку В, получив точку В₁. Далее, проведя прямую АВ₁, получим точку D, которая и является искомой в задаче точкой. BD = B'D, ВС = В'С, тогда ясно, что для любой другой точки F AF + FB’ AD + DB'.

Расстояние AD + BD является наименьшим для выхода на шоссе из леса и захода в лес в заданной точке (D).

П одобная задача: Эта задача имеет много видоизменений: например, нужно найти точку, в которой ворона, сидящая на дереве, может подобрать рассыпанное на земле зерно и приземлиться на заборе, если по двору бегает кошка.

Задание: проведите рассуждение и сделайте чертёж, на котором обозначьте буквами положение вороны, зерна, и птицы, на котором изобразите оптимально короткий путь вороны.

В каком случае кошка всё равно настигнет ворону? Каких данных не хватает в задаче?

Переходим к решению задач на кубе

Задача о пауке и мухе 1:

В противоположных (наиболее удалённых друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи, если он может ползти только по рёбрам и по диагоналям граней куба? (6 вариантов ответа)

Ответ

3 маршрута: диагональ грани – ребро; 3 маршрута:ребро-диагональ грани.

Так как у каждой вершины сходятся по 3 ребра и по 3 грани, то других вариантов нет.

Задача о пауке и мухе 2: Неправильный (неголодный) паук

Пусть ребро куба равно 1 дм. Проложите и вычислите наибольшее расстояние по рёбрам куба от паука к мухе, при прохождении которого нельзя по одному и тому же ребру бывать дважды. Можно ли обойти все рёбра куба? Почему?Сколько способов прохода паука вы нашли? На рисунке показан один из вариантов обхода.

Решение: 1дм х 7 = 7 (дм) – длина наибольшего пути паука.

Задача о пауке и мухе 3: В противоположных (наиболее удалённых друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи?

Наводящий вопрос: Чем эта задача отличается от предыдущей?

Разбор:

• Что является кратчайшим расстоянием между двумя точками?

• Как бы вы решали задачу, если бы объекты находились на одной плоскости, в данном случае на одной грани?

• Как сделать так, чтобы паук и муха оказались в одной грани?

Решение: Решение связано с построением развёртки куба.

Задача 1. Нарисуйте длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2), соединяющего вершины A и C₁.

Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух соседних граней куба, изображенную на рисунке 3.

Кратчайшим путем из A в C₁ является отрезок AC₁.  Соответствующий путь на поверхности куба изображен на рисунке 4.

 Заметим, что путь из A в C₁ является не единственным. Имеется шесть таких путей, проходящих через середины ребер BB₁, A₁B₁, A₁D₁, DD₁, CD и BC 

(рис. 5).

Задача о пауке и мухе 4: на одном боковом ребре куба сидит муха. Паук сидит в середине верхней грани. Каким кратчайшим путём паук может доползти до мухи?

Наводящий вопрос: Чем эта задача отличается от предыдущей?

Решение: Решение связано с построением развёртки куба.Какие грани куба нужно посмотреть в развёртке?

Начертите путь паука к мухе по кратчайшей траектории.

Развитие задачи: Как изменится решение, если мы будем двигать паука и муху по разным положениям на гранях, рёбрах.

Обобщение

Можно ли сказать, что у этих задач похожий путь решения? Как бы вы назвали этот метод? (метод развёртки).

Метод развёртки применяется не только на кубе! Его активно применяют на призме, прямоугольном параллелепипед, пирамиде, комбинированных и на круглых телах.

Задача для ознакомления: на внутренней стенке цилиндрической банки в трех сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противопо­ложной точке сидит муха (рис. 37). Нарисуйте кратчайший путь, по кото­рому муха может доползти до меда. 

МЁД муха

Решение. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник (рис. 38). 

 Конечно, кратчайшим путем между точками A и B является отрезок AB. Однако, чтобы муха могла попасть на внутреннюю сторону банки, ей нужно переползти через край в некоторой точке C. Рассмотрим точку B’, симметричную точке B относительно стороны прямоугольника. Тогда отрезки BC и B’C равны, следовательно, длина кратчайшего пути равна длине отрезка AB’. Соответствующий путь на поверхности банки изображен на рисунке 39.

На дом - Задача Шарыгина:

Комната представляет из себя прямоугольный параллелепипед, одна стена которого имеет вид квадрата со стороной 2 м, пол – прямоугольник 2 х 5. На квадратной стене на расстоянии 1/6 м от пола и на равных расстояниях от углов этой стены сидит паук. Аналогичным образом на противоположной стене, но у потолка сидит муха. Нарисовать длину кратчайшего пути, по которому паук может доползти до мухи.

Путь решения: для определения кратчайшего пути сделаем развёртку. Кратчайший путь пересекает 4 ребра. Проверьте, что для других маршрутов путь длиннее.

Рефлексия

А. Вишневская 
Люблю я в кубики играть – 
Они мои друзья! 
И даже если надо спать – 
Беру в постель их я! 
Из них построю я гараж, 
машина будет жить, 
Потом для речки берега, 
водичку чтобы лить! 
Для башни - тоже хорошо, 
Пусть будет высока! 
И домик сделаю с окном – 
Какая красота! 

Нахождение кратчайших расстояний на кубе (компетенции в учебных программах)

выполнила Денисова М.Г.